‘‘आज समप्रमाणात असणाऱ्या संख्यांची गणितं शिकायची ना? ’’ मनीषाने विचारले. ‘‘होय, आधी कुठल्या संख्यांच्या जोडय़ा समप्रमाणात असतात ते पाहू या. गेल्या वेळी आपण मुलांना विशिष्ट प्रमाणात वाटायच्या गोळ्यांचं उदाहरण पाहिलं होतं. आणखी कोणती उदाहरणं सुचतात?’’ बाईंचा प्रश्न ऐकून सगळे विचार करू लागले.
‘‘आमच्या महिला मंडळात प्रत्येक जण वर्गणी देते. महिलांची संख्या आणि जमलेली वर्गणी या संख्या समप्रमाणात असतात.’’- इति मनीषा. ‘‘कर्ज काढताना व्याजाचा दर ठरलेला असतो, कर्जाची रक्कम आणि त्यावरचं व्याज हे समप्रमाणात असतं.’’ शीतलने सांगितलं. ‘‘माझ्या पार्टीमध्ये मी सगळ्या मुलींना दोन दोन बांगडय़ा भेट दिल्या. मुलींची संख्या आणि बांगडय़ांची संख्या समप्रमाणात होती.’’ हर्षां म्हणाली. ‘‘मुलगे नव्हते का तुझ्या पार्टीत?’’ नंदूने विचारले. ‘‘होते, पण त्यांना कुणी बांगडय़ा देतात का? ’’ हर्षां उत्तरली. ‘‘बरोबर आहे तुझं हर्षां. नंदू आता तू सांग बरं एखादं समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांचं उदाहरण!’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘कुत्रे आणि त्यांचे पाय! एका कुत्र्याचे चार पाय, दोन कुत्र्यांचे आठ!’’ नंदू म्हणाला. ‘‘असली गणितं तर सोपी आहेत, एकावरून अनेकांची किंमत काढायला शिकवलंय आम्हाला.’’ सतीश म्हणाला.
‘‘एकावरून अनेकांची किंमत गुणाकाराने काढणं हा समप्रमाणात असलेल्या संख्यांच्या गणिताचा सोपा प्रकार झाला.’’ बाई समजावू लागल्या. ‘‘कधी कधी एकाची किंमत माहीत नसते, तर समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांची एक कुठली तरी जोडी माहीत असते. त्यावरून वेगळ्या जोडीतील एक संख्या दिलेली असेल, तर दुसरी काढायची असते. मग आपण त्या दोन संख्यांचे गुणोत्तर प्रमाण, म्हणजेच त्यांचा भागाकार दोन पद्धतींनी लिहून समीकरण मांडतो व ते सोडवून हवी ती संख्या मिळवतो.’’ ‘‘नीट नाही लक्षात येत हे!’’ सतीश कुरकुरला.
‘‘थोडी उदाहरणं पाहिली की मग नियम नीट समजतो. सरळ व्याजाच्या कर्जाचं उदाहरण पाहू. दर साल दर शेकडा दहा व्याजाने ३५० रुपयांचे व्याज शोधू या. व्याज कसं वाढतं ते दिलं आहे. १०० रुपयांवर दहा रुपये व्याज आहे. मग व्याज व मुद्दल किंवा कर्ज यांचं प्रमाण पाहू. १०० मुद्दल असेल तर ते १०:१०० असं दिलंय, ३५० रुपयांवर व्याज ‘‘व’’ आहे असं मानू व तेच गुणोत्तर व : ३५० असंही मिळतं, म्हणून
व ३५० = १० १०० हे समीकरण मांडू. आता गेल्या वेळेप्रमाणेच तिरका गुणाकार करून किंवा ३५० ७ १०० ने दोन्ही बाजूंना गुणून समीकरण सोडवू शकतो.’’ ‘‘हे काही फार अवघड नाहीये’’ - इति शीतल.
‘‘३५० रुपये मुदलाचं चार वर्षांचं व्याज काढायचं असलं, तर?’’ सतीशने विचारलं. ‘‘मग एक वर्षांच्या व्याजाला चारने गुणावं किंवा प्रथमच चार वर्षांचं व्याज व मुद्दल यांचं प्रमाण लिहावं. मग आपलं समीकरण
व ३५० = ४० १०० असं असेल.’’ ‘‘कधी कधी रास देतात आणि मुद्दल शोधायला सांगतात. मग कसं करायचं?’’ शीतलचा प्रश्न होता. ‘‘ रास म्हणजे काय?’’ ‘‘हर्षांच्या प्रश्नाला अशोकने उत्तर दिलं. ‘‘रास म्हणजे मुद्दल किंवा मूळ कर्ज आणि व्याज यांची बेरीज. एकूण तेवढे रुपये परत द्यायचे असतात.’’ ‘‘ जरा विचार करा बरं! १०० रुपये मुदलाच्या बाबतीत आपल्याला सगळी माहिती आहे, त्याची रासदेखील सहज काढता येते. मग आपण मुद्दल व रास यांचं प्रमाण लिहू शकतो. तेच दोन प्रकारांनी लिहावं. एकूण चार संख्यांचे दोन समान अपूर्णाक मांडावेत व समीकरण लिहावं. त्यातल्या चार संख्यांपकी तीन माहीत असतात, चौथीबद्दल अक्षर मानून समीकरण सोडवावं व अक्षराची किंमत शोधावी.’’-इति बाई. ‘‘एक असं उदाहरण पाहू या का?’’ मनीषाने विचारले.
‘‘जरूर, म्हणजे रीत नीट समजेल. दर साल दर शेकडा १२ व्याजाने तीन वर्षांनी रास ३४० रुपये झाली, तर मुद्दल किती होते? अशोक तू सोडवून दाखवतोस?’’ बाईंनी विचारलं. अशोक तत्परतेने सोडवू लागला. ‘‘१०० रुपये मुदलाची तीन वर्षांत रास १३६ रुपये होते. म्हणून मुद्दल व रास यांचे प्रमाण १००:१३६ असे आहे. ३४० रुपये रास ‘‘म’’ मुदलाची असेल तर १०० १३६ = म३४० हे समीकरण मिळते.’’ ‘‘शाबास. प्रमाण मुद्दल व रास यांच्या ऐवजी रास व मुद्दल यांचेदेखील घेता येते. मग दोन्ही बाजूंचे अपूर्णाक उलटे येतील पण समीकरणाचे उत्तर बदलत नाही.’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘आता कमिशन किंवा सूट देणाऱ्या विक्रीची गणितं याच रीतीने सोडवता येतील ना? तिथे शेकडा किती कमिशन म्हणजे १०० रुपये किमतीवर किती कमिशन ते दिलेलं असतं किंवा ते शोधायचं असतं. नीट विचार करून एकच अपूर्णाक दोन रूपात लिहून समीकरण मांडायचं. शोधायच्या संख्येसाठी अक्षर घेऊन समीकरण सोडवून त्याची किंमत मिळवायची.’’
‘‘शेकडेवारीची गणितंदेखील याच रीतीने करायची ना? ‘‘शीतलने विचारले. ‘‘हो, शेकडेवारी आणि टक्केवारी एकच आहेत. दोन अपूर्णाकांची तुलना करताना दोन्हीमध्ये समान छेद बनवतो ना आपण? तसंच काहीसं आहे इथे. मात्र इथे प्रत्येक अपूर्णाकाचा छेद १०० घेतात. त्यामुळे तुलनेला सोपं होतं. नंदूला ५० पकी ३५ मार्क, आणि हर्षांला ७५ पकी ५१ मार्क असतील तर कुणाला जास्त मिळाले?’’ ‘‘हर्षांला जास्त मार्क आहेत ना?’’ नंदूने विचारले. ‘‘पण ते ७५ पकी आहेत. दोघांच्या मार्काची तुलना करताना दोघांच्या साठी एकूण मार्क १०० असतील तर किती मार्क असतील, ते पाहतात. तुझे ५० पकी ३५, तर १०० पकी किती झाले?’’ बाईंच्या प्रश्नाला नंदूने किंचित वेळाने उत्तर दिले ‘‘७०’’. ‘‘आता हर्षांचे मार्क ५१ आहेत ७५ पकी. तेही १०० पकी असतील, तर किती होतील?’’ बाईंनी विचारले. ‘‘ते नाही चटकन सांगता येत.’’ नंदूने कबूल केले. ‘‘त्यासाठी आपली रीत वापरू. १०० पकी त्याच प्रमाणात ‘‘म’’ मार्क असतील असे मानू, मग हर्षांला मिळालेले मार्क व एकूण मार्क यांचे प्रमाण ५१७५ आणि म१०० असे मिळते.’’ बाईंचे म्हणणे सगळ्यांना पटले. मग शीतलने ५१७५ = म१०० हे समीकरण मांडले व सोडवले. त्याचे उत्तर आले म = ६८. ‘‘आता समजले ना कुणाला जास्त मार्क मिळाले ते?’’ मनीषाने विचारले. ‘‘हो, आणि शेकडेवारीचा कसा उपयोग होतो हे देखील समजले.’’ सतीश म्हणाला.
‘‘मग आता समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांची गणितं अशा रीतीने सहज करता येतील ना? त्यांचा सराव करा मात्र.’’ बाईंनी सल्ला दिला. ‘‘आणि व्यस्त प्रमाण कसं असतं? त्याची गणितं अवघड असतात ना?’’ सतीशने विचारलं. ‘‘ते देखील पाहू आपण. अवघड नसतं ते, पण तिथे व्यस्त प्रमाणात बदलणाऱ्या संख्या आहेत हे ओळखलं पाहिजे.’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘ पण व्यस्त प्रमाण म्हणजे काय?’’ नंदूने विचारले. ‘‘दोन संख्यांचा असा संबंध असतो, की एक लहान झाली, तर दुसरी मोठी होते, उलट एक मोठी झाली, तर दुसरी लहान होते. उदाहरण पाहा. माझ्या जवळ ३० शंकरपाळे आहेत असं समजा. तुम्हा पाच जणांत सारखे वाटले, तर प्रत्येकाला किती मिळतील? ’’ हे गणित नंदूने चटकन केले व उत्तर दिले ‘‘६’’. ‘‘बरोबर, पण मुलांची संख्या ५ ऐवजी १० झाली, तर?’’ बाईंनी विचारले. ‘‘मग प्रत्येकाला तीनच मिळतील.’’ हर्षांने उत्तर दिलं.
‘‘आता मुलांची संख्या आणि प्रत्येकाला मिळणारे शंकरपाळे या संख्या व्यस्त प्रमाणात आहेत हे लक्षात घ्या. पुढच्या वेळी अशा व्यस्त प्रमाणात असलेल्या संख्यांच्या जोडय़ा आणा. त्यांची गणितं कशी करायची ते पाहू.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘आमच्या महिला मंडळात प्रत्येक जण वर्गणी देते. महिलांची संख्या आणि जमलेली वर्गणी या संख्या समप्रमाणात असतात.’’- इति मनीषा. ‘‘कर्ज काढताना व्याजाचा दर ठरलेला असतो, कर्जाची रक्कम आणि त्यावरचं व्याज हे समप्रमाणात असतं.’’ शीतलने सांगितलं. ‘‘माझ्या पार्टीमध्ये मी सगळ्या मुलींना दोन दोन बांगडय़ा भेट दिल्या. मुलींची संख्या आणि बांगडय़ांची संख्या समप्रमाणात होती.’’ हर्षां म्हणाली. ‘‘मुलगे नव्हते का तुझ्या पार्टीत?’’ नंदूने विचारले. ‘‘होते, पण त्यांना कुणी बांगडय़ा देतात का? ’’ हर्षां उत्तरली. ‘‘बरोबर आहे तुझं हर्षां. नंदू आता तू सांग बरं एखादं समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांचं उदाहरण!’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘कुत्रे आणि त्यांचे पाय! एका कुत्र्याचे चार पाय, दोन कुत्र्यांचे आठ!’’ नंदू म्हणाला. ‘‘असली गणितं तर सोपी आहेत, एकावरून अनेकांची किंमत काढायला शिकवलंय आम्हाला.’’ सतीश म्हणाला.
‘‘एकावरून अनेकांची किंमत गुणाकाराने काढणं हा समप्रमाणात असलेल्या संख्यांच्या गणिताचा सोपा प्रकार झाला.’’ बाई समजावू लागल्या. ‘‘कधी कधी एकाची किंमत माहीत नसते, तर समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांची एक कुठली तरी जोडी माहीत असते. त्यावरून वेगळ्या जोडीतील एक संख्या दिलेली असेल, तर दुसरी काढायची असते. मग आपण त्या दोन संख्यांचे गुणोत्तर प्रमाण, म्हणजेच त्यांचा भागाकार दोन पद्धतींनी लिहून समीकरण मांडतो व ते सोडवून हवी ती संख्या मिळवतो.’’ ‘‘नीट नाही लक्षात येत हे!’’ सतीश कुरकुरला.
‘‘थोडी उदाहरणं पाहिली की मग नियम नीट समजतो. सरळ व्याजाच्या कर्जाचं उदाहरण पाहू. दर साल दर शेकडा दहा व्याजाने ३५० रुपयांचे व्याज शोधू या. व्याज कसं वाढतं ते दिलं आहे. १०० रुपयांवर दहा रुपये व्याज आहे. मग व्याज व मुद्दल किंवा कर्ज यांचं प्रमाण पाहू. १०० मुद्दल असेल तर ते १०:१०० असं दिलंय, ३५० रुपयांवर व्याज ‘‘व’’ आहे असं मानू व तेच गुणोत्तर व : ३५० असंही मिळतं, म्हणून
व ३५० = १० १०० हे समीकरण मांडू. आता गेल्या वेळेप्रमाणेच तिरका गुणाकार करून किंवा ३५० ७ १०० ने दोन्ही बाजूंना गुणून समीकरण सोडवू शकतो.’’ ‘‘हे काही फार अवघड नाहीये’’ - इति शीतल.
‘‘३५० रुपये मुदलाचं चार वर्षांचं व्याज काढायचं असलं, तर?’’ सतीशने विचारलं. ‘‘मग एक वर्षांच्या व्याजाला चारने गुणावं किंवा प्रथमच चार वर्षांचं व्याज व मुद्दल यांचं प्रमाण लिहावं. मग आपलं समीकरण
व ३५० = ४० १०० असं असेल.’’ ‘‘कधी कधी रास देतात आणि मुद्दल शोधायला सांगतात. मग कसं करायचं?’’ शीतलचा प्रश्न होता. ‘‘ रास म्हणजे काय?’’ ‘‘हर्षांच्या प्रश्नाला अशोकने उत्तर दिलं. ‘‘रास म्हणजे मुद्दल किंवा मूळ कर्ज आणि व्याज यांची बेरीज. एकूण तेवढे रुपये परत द्यायचे असतात.’’ ‘‘ जरा विचार करा बरं! १०० रुपये मुदलाच्या बाबतीत आपल्याला सगळी माहिती आहे, त्याची रासदेखील सहज काढता येते. मग आपण मुद्दल व रास यांचं प्रमाण लिहू शकतो. तेच दोन प्रकारांनी लिहावं. एकूण चार संख्यांचे दोन समान अपूर्णाक मांडावेत व समीकरण लिहावं. त्यातल्या चार संख्यांपकी तीन माहीत असतात, चौथीबद्दल अक्षर मानून समीकरण सोडवावं व अक्षराची किंमत शोधावी.’’-इति बाई. ‘‘एक असं उदाहरण पाहू या का?’’ मनीषाने विचारले.
‘‘जरूर, म्हणजे रीत नीट समजेल. दर साल दर शेकडा १२ व्याजाने तीन वर्षांनी रास ३४० रुपये झाली, तर मुद्दल किती होते? अशोक तू सोडवून दाखवतोस?’’ बाईंनी विचारलं. अशोक तत्परतेने सोडवू लागला. ‘‘१०० रुपये मुदलाची तीन वर्षांत रास १३६ रुपये होते. म्हणून मुद्दल व रास यांचे प्रमाण १००:१३६ असे आहे. ३४० रुपये रास ‘‘म’’ मुदलाची असेल तर १०० १३६ = म३४० हे समीकरण मिळते.’’ ‘‘शाबास. प्रमाण मुद्दल व रास यांच्या ऐवजी रास व मुद्दल यांचेदेखील घेता येते. मग दोन्ही बाजूंचे अपूर्णाक उलटे येतील पण समीकरणाचे उत्तर बदलत नाही.’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘आता कमिशन किंवा सूट देणाऱ्या विक्रीची गणितं याच रीतीने सोडवता येतील ना? तिथे शेकडा किती कमिशन म्हणजे १०० रुपये किमतीवर किती कमिशन ते दिलेलं असतं किंवा ते शोधायचं असतं. नीट विचार करून एकच अपूर्णाक दोन रूपात लिहून समीकरण मांडायचं. शोधायच्या संख्येसाठी अक्षर घेऊन समीकरण सोडवून त्याची किंमत मिळवायची.’’
‘‘शेकडेवारीची गणितंदेखील याच रीतीने करायची ना? ‘‘शीतलने विचारले. ‘‘हो, शेकडेवारी आणि टक्केवारी एकच आहेत. दोन अपूर्णाकांची तुलना करताना दोन्हीमध्ये समान छेद बनवतो ना आपण? तसंच काहीसं आहे इथे. मात्र इथे प्रत्येक अपूर्णाकाचा छेद १०० घेतात. त्यामुळे तुलनेला सोपं होतं. नंदूला ५० पकी ३५ मार्क, आणि हर्षांला ७५ पकी ५१ मार्क असतील तर कुणाला जास्त मिळाले?’’ ‘‘हर्षांला जास्त मार्क आहेत ना?’’ नंदूने विचारले. ‘‘पण ते ७५ पकी आहेत. दोघांच्या मार्काची तुलना करताना दोघांच्या साठी एकूण मार्क १०० असतील तर किती मार्क असतील, ते पाहतात. तुझे ५० पकी ३५, तर १०० पकी किती झाले?’’ बाईंच्या प्रश्नाला नंदूने किंचित वेळाने उत्तर दिले ‘‘७०’’. ‘‘आता हर्षांचे मार्क ५१ आहेत ७५ पकी. तेही १०० पकी असतील, तर किती होतील?’’ बाईंनी विचारले. ‘‘ते नाही चटकन सांगता येत.’’ नंदूने कबूल केले. ‘‘त्यासाठी आपली रीत वापरू. १०० पकी त्याच प्रमाणात ‘‘म’’ मार्क असतील असे मानू, मग हर्षांला मिळालेले मार्क व एकूण मार्क यांचे प्रमाण ५१७५ आणि म१०० असे मिळते.’’ बाईंचे म्हणणे सगळ्यांना पटले. मग शीतलने ५१७५ = म१०० हे समीकरण मांडले व सोडवले. त्याचे उत्तर आले म = ६८. ‘‘आता समजले ना कुणाला जास्त मार्क मिळाले ते?’’ मनीषाने विचारले. ‘‘हो, आणि शेकडेवारीचा कसा उपयोग होतो हे देखील समजले.’’ सतीश म्हणाला.
‘‘मग आता समप्रमाणात बदलणाऱ्या संख्यांची गणितं अशा रीतीने सहज करता येतील ना? त्यांचा सराव करा मात्र.’’ बाईंनी सल्ला दिला. ‘‘आणि व्यस्त प्रमाण कसं असतं? त्याची गणितं अवघड असतात ना?’’ सतीशने विचारलं. ‘‘ते देखील पाहू आपण. अवघड नसतं ते, पण तिथे व्यस्त प्रमाणात बदलणाऱ्या संख्या आहेत हे ओळखलं पाहिजे.’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘ पण व्यस्त प्रमाण म्हणजे काय?’’ नंदूने विचारले. ‘‘दोन संख्यांचा असा संबंध असतो, की एक लहान झाली, तर दुसरी मोठी होते, उलट एक मोठी झाली, तर दुसरी लहान होते. उदाहरण पाहा. माझ्या जवळ ३० शंकरपाळे आहेत असं समजा. तुम्हा पाच जणांत सारखे वाटले, तर प्रत्येकाला किती मिळतील? ’’ हे गणित नंदूने चटकन केले व उत्तर दिले ‘‘६’’. ‘‘बरोबर, पण मुलांची संख्या ५ ऐवजी १० झाली, तर?’’ बाईंनी विचारले. ‘‘मग प्रत्येकाला तीनच मिळतील.’’ हर्षांने उत्तर दिलं.
‘‘आता मुलांची संख्या आणि प्रत्येकाला मिळणारे शंकरपाळे या संख्या व्यस्त प्रमाणात आहेत हे लक्षात घ्या. पुढच्या वेळी अशा व्यस्त प्रमाणात असलेल्या संख्यांच्या जोडय़ा आणा. त्यांची गणितं कशी करायची ते पाहू.’’ बाई म्हणाल्या.
कोणत्याही टिप्पण्या नाहीत:
टिप्पणी पोस्ट करा